Question

已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+|2x+3|，g（x）=|x-1|+2．
（1）解不等式|g（x）|＜5；
（2）若對任意x₁∈R，都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）利用||x-1|+2|＜5，轉(zhuǎn)化為-7＜|x-1|＜3，然后求解不等式即可．
（2）利用條件說明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通過函數(shù)的最值，列出不等式求解即可．

解答： 解：（1）由||x-1|+2|＜5，得-5＜|x-1|+2＜5
∴-7＜|x-1|＜3，
得不等式的解為-2＜x＜4…（5分）
（2）因為任意x₁∈R，都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，
又f（x）=|2x-a|+|2x+3|≥|（2x-a）-（2x+3）|=|a+3|，
g（x）=|x-1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥-1或a≤-5，
所以實數(shù)a的取值范圍為a≥-1或a≤-5．…（10分）

點評：本題考查函數(shù)的恒成立，絕對值不等式的解法，考查分析問題解決問題的能力以及轉(zhuǎn)化思想的應用．