Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求f（x）的定義域；

（2）當(dāng)x∈（1，+∞），

①求證：f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；

②求使關(guān)系式f（2+m）＞f（2m-1）成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) （-∞，-1）∪（1，+∞）．(2) ①證明見(jiàn)解析； ②m＞3．

【解析】

（1）由＞0，得x＜-1或x＞1，答案可求；

（2）①設(shè)1＜x1＜x2，f（x1）-f（x2）=（）==，判斷正負(fù)得出結(jié)論；

②由①知函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，由f（2+m）＞f（2m-1）得出m．

（1）由＞0，得x＜-1或x＞1，

即函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>-∞，-1）∪（1，+∞）．

（2）①證明：設(shè)1＜x1＜x2，

f（x1）-f（x2）=-（）

==，

因?yàn)?/span>1＜x1＜x2，所以x2-x1＞0，

所以x1x2-1+（x2-x1）＞x1x2-1-（x2-x1）＞0，

所以，

所以f（x）＞f（x），

故f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．

②由（1）知函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，

由f（2+m）＞f（2m-1），

得1＜2+m＜2m-1，得m＞3．