Question

16．已知函數(shù)f（x）=2alnx+x²-（a+4）x+1（a為常數(shù)）
（1）若a＞0，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若對(duì)任意的 a∈（1，$\sqrt{2}$），都存在 x₀∈（3，4]使得不等式f（x₀）+ln a+1＞m（a-a²）+2a ln$\frac{4}{e}$成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，然后對(duì)a分類(lèi)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）由（1）可知，f（x）在（3，4]上單調(diào)遞增．求出f（x）在（3，4]上的最大值，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）_max+lna+1＞$m（a-{a}^{2}）+2aln\frac{4}{e}$，即2-2a+lna＞m（a-a²）恒成立．即對(duì)任意的a∈（1，$\sqrt{2}$），不等式lna+ma²-（m+2）a+2＞0恒成立．設(shè)h（a）=lna+ma²-（m+2）a+2，然后分m≥1和m＜1討論a∈（1，$\sqrt{2}$）時(shí)h（a）＞0是否恒成立求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{2a}{x}+2x-（a+4）=\frac{（x-2）（2x-a）}{x}$．
令f′（x）=0，得x₁=2，${x}_{2}=\frac{a}{2}$．
①當(dāng)a＞4時(shí)，$\frac{a}{2}$＞2，當(dāng)2＜x＜$\frac{a}{2}$時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0．
此時(shí)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），（$\frac{a}{2}，+∞$），單調(diào)遞減區(qū)間為（2，$\frac{a}{2}$）．
②當(dāng)a=4時(shí)，$\frac{a}{2}$=2，f′（x）=$\frac{2（x-2）^{2}}{x}≥$0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
③當(dāng)0＜a＜4時(shí)，$\frac{a}{2}$＜2，當(dāng)$\frac{a}{2}$＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)0＜x＜$\frac{a}{2}$或x＞2時(shí)，f′（x）＞0．
此時(shí)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{a}{2}$），（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（$\frac{a}{2}$，2）．
綜上所述，當(dāng)a＞4時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），（$\frac{a}{2}，+∞$），單調(diào)遞減區(qū)間為（2，$\frac{a}{2}$）．
當(dāng)a=4時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)0＜a＜4時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{a}{2}$），（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（$\frac{a}{2}$，2）．
（2）由（1）可知，當(dāng)a∈（1，$\sqrt{2}$）時(shí)，f（x）在（3，4]上單調(diào)遞增．
∴x∈（3，4]時(shí)，f（x）_max=f（4）=4aln2-4a+1，依題意，
只需f（x）_max+lna+1＞$m（a-{a}^{2}）+2aln\frac{4}{e}$，即2-2a+lna＞m（a-a²）恒成立．
即對(duì)任意的a∈（1，$\sqrt{2}$），不等式lna+ma²-（m+2）a+2＞0恒成立．
設(shè)h（a）=lna+ma²-（m+2）a+2，則h（1）=0．
$h′（a）=\frac{1}{a}+2ma-（m+2）=\frac{（2a-1）（ma-1）}{a}$．
∵a∈（1，$\sqrt{2}$），∴$\frac{2a-1}{a}$＞0．
①當(dāng)m≥1時(shí)，對(duì)任意的a∈（1，$\sqrt{2}$），ma-1＞0，∴h′（a）＞0，h（a）在（1，$\sqrt{2}$）上單調(diào)遞增，h（a）＞h（1）=0恒成立；
②當(dāng)m＜1時(shí)，存在a₀∈（1，$\sqrt{2}$），使得當(dāng)a∈（1，a₀）時(shí)，ma-1＜0，∴h′（a）＜0，h（a）單調(diào)遞減，h（a）＜h（1）=0，
∴a∈（1，$\sqrt{2}$）時(shí)，h（a）＞0不能恒成立．
綜上述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是壓軸題．