Question

11．過橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F作傾斜角為α的直線交橢圓x軸上方于一點(diǎn)P，其中α∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OF}$），|$\overrightarrow{OQ}$|=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，則橢圓離心率的最大值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由題意可知Q為PF的中點(diǎn)，OQ為△FF₁P的中位線，丨PF₁丨=2c，根據(jù)橢圓的定義丨PF丨=2a-2c，則cos（π-α）=$\frac{a-c}{2c}$，則e=$\frac{1}{1-2cosα}$，α∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求得橢圓離心率的最大值．

解答 解：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)F₁（-c，0），
由題意可知：|$\overrightarrow{OQ}$|=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=c，$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OF}$），則Q為PF的中點(diǎn)，
則OQ為△FF₁P的中位線，
由丨PF₁丨=2丨OQ丨=2c，由橢圓的定義可知：丨PF丨=2a-2c，
則△FF₁P等腰三角形，則cos（π-α）=$\frac{a-c}{2c}$，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$，則e=$\frac{1}{1-2cosα}$，α∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
設(shè)cosα=t，t∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$]，
則f（t）=$\frac{1}{1-2t}$在[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$]單調(diào)遞增，則當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$，f（t）取最大值，最大值為$\frac{1}{2}$，
∴橢圓離心率的最大值$\frac{1}{2}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查橢圓的定義，函數(shù)的單調(diào)性與橢圓的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．