Question

9．已知函數(shù)$f（x）=Asin（3x+\frac{π}{6}）+B（A＞0）$的最大值為2，最小值為0．
（1）求$f（\frac{7π}{18}）$的值； 
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位后，再將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來$\sqrt{2}$的倍，橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求方程$g（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的解．

Answer 1

分析 （1）由題意可得B，A的值，求得 函數(shù)f（x）的解析式，從而求得$f（\frac{7π}{18}）$的值．
（2）根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得到函數(shù)y=g（x），由方程可得sin（3x-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，由此解得x的值．

解答 解：（1）∵$f（x）=Asin（3x+\frac{π}{6}）+B（A＞0）$的最大值為2，最小值為0，
∴A+B=2，B-A=0，解得：A=B=1，
∴$f（\frac{7π}{18}）$=sin（3×$\frac{7π}{18}$+$\frac{π}{6}$）+1=1-sin$\frac{π}{3}$=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位后，
可得函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=sin[3（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]+1=sin（3x-$\frac{π}{3}$）+1，
再將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來$\sqrt{2}$的倍，橫坐標(biāo)不變，
得到函數(shù)y=g（x）=$\sqrt{2}$sin（3x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{2}$，
由已知可得：$\sqrt{2}$sin（3x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得：sin（3x-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴3x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{7π}{6}$，或3x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{11π}{6}$，k∈Z．
解得x=$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{2}$，或x=$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{13π}{18}$，k∈Z．
即方程g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$的解為{x|x=$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{2}$，或x=$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{13π}{18}$，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的圖象特征，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角方程的解法，屬于中檔題．