13.已知橢圓${C_1}:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,直線$l:y=x+2\sqrt{2}$與以原點為圓心、以橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓C1的方程;
(Ⅱ)若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦,垂足為右焦點F2,求四邊形ABCD的面積的最小值.

分析 (Ⅰ)根據(jù)a2=2b2以及e的值,求出a,b的值,從而求出橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)出直線AC的方程,聯(lián)立橢圓的方程求出|AC|,|BD|的表達式,結(jié)合不等式的性質(zhì)求出四邊形ABCD的面積的最小值即可.

解答 解:(Ⅰ)∵$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,∴${e^2}=\frac{c^2}{a^2}=\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{1}{2}$,∴a2=2b2
∵直線l:x-y+2=0與圓x2+y2=b2相切∴$\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}}}=b$,
∴b=2,b2=4,∴a2=8,
∴橢圓C1的方程是$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$.…(4分)
(Ⅱ)當(dāng)直線AC的斜率存在且不為零時,
設(shè)直線AC的斜率為k,A(x1,y1),C(x2,y2),
則直線AC的方程為y=k(x-2).
聯(lián)立$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1及y=k(x-2)得(1+2{k^2}){x^2}-8{k^2}x+8{k^2}-8=0$.
所以${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}},{x_1}{x_2}=\frac{{8{k^2}-8}}{{1+2{k^2}}}$,
$|AC|=\sqrt{(1+{k^2}){{({x_1}-{x_2})}^2}}=\sqrt{(1+{k^2})[{{({x_1}+{x_2})}^2}-4{x_1}{x_2}]}=\frac{{\sqrt{32}({k^2}+1)}}{{1+2{k^2}}}$….(7分)
由于直線BD的斜率為$-\frac{1}{k},用-\frac{1}{k}$代換上式中的k可得$|BD|=\frac{{\sqrt{32}(1+{k^2})}}{{{k^2}+2}}$
因為AC⊥BD,所以四邊形ABCD的面積為$S=\frac{1}{2}|AC|•|BD|=\frac{{16{{(1+{k^2})}^2}}}{{({k^2}+2)(1+2{k^2})}}$…..(10分)
由$(1+2{k^2})({k^2}+2)≤{[\frac{{(1+2{k^2})+({k^2}+2)}}{2}]^2}={[\frac{{3({k^2}+1)}}{2}]^2}$
所以$S≥\frac{64}{9},當(dāng)1+2{k^2}={k^2}+2時,即k=±1$時取等號.…(11分)
易知,當(dāng)直線AC的斜率不存在或斜率為零時,四邊形ABCD的面積S=8
綜上可得,四邊形ABCD面積的最小值為$\frac{64}{9}$.…(12分)

點評 本題考查了求橢圓方程問題,考查橢圓的性質(zhì),直線和橢圓的位置關(guān)系以及不等式的性質(zhì),是一道綜合題.

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