Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$，m∈R．
（Ⅰ）當(dāng)m=e時，求函數(shù)f（x）的極小值；
（Ⅱ）討論函數(shù)g（x）=f'（x）-$\frac{x}{3}$零點(diǎn)的個數(shù)；
（Ⅲ）若對任意的b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極小值．
（Ⅱ）函數(shù)$g（x）=f'（x）-\frac{x}{3}$=$\frac{1}{x}-\frac{m}{x^2}-\frac{x}{3}$（x＞0），令g（x）=0，得$m=-\frac{1}{3}{x^2}+x$（x＞0）．設(shè)$ϕ（x）=-\frac{1}{3}{x^2}+x（x≥0）$，求出ϕ'（x），當(dāng)x∈（0，1）時，當(dāng)x∈（1，+∞）時，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值，通過①當(dāng)$m＞\frac{2}{3}$時，②當(dāng)$m=\frac{2}{3}$時，③當(dāng)$0＜m＜\frac{2}{3}$時，④當(dāng)m≤0時，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)即可．
（Ⅲ）對任意b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}＜1$恒成立，等價于f（b）-b＜f（a）-a恒成立．（*）．設(shè)h（x）=f（x）-x=$lnx+\frac{m}{x}-x（x＞0）$，通過$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{m}{x^2}-1≤0$在（0，+∞）上恒成立，求解m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)，當(dāng)m=e時，$f（x）=lnx+\frac{e}{x}$，易得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{e}{x^2}=\frac{x-e}{x^2}$．
∴當(dāng)x∈（0，e）時，f'（x）＜0，f（x）在（0，e）上單調(diào)遞減；
∴當(dāng)x∈（e，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞增；
所以當(dāng)x=e時，f（x）取得極小值$f（e）=lne+\frac{e}{e}=2$，所以f（x）的極小值為2．
（Ⅱ）函數(shù)$g（x）=f'（x）-\frac{x}{3}$=$\frac{1}{x}-\frac{m}{x^2}-\frac{x}{3}$（x＞0），令g（x）=0，得$m=-\frac{1}{3}{x^2}+x$（x＞0）．
設(shè)$ϕ（x）=-\frac{1}{3}{x^2}+x（x≥0）$，則ϕ'（x）=-x²+1=-（x-1）（x+1）．
∴當(dāng)x∈（0，1）時，ϕ'（x）＞0，ϕ（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
∴當(dāng)x∈（1，+∞）時，ϕ'（x）＜0，ϕ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
所以ϕ（x）的最大值為$ϕ（1）=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$，又ϕ（0）=0，可知：
①當(dāng)$m＞\frac{2}{3}$時，函數(shù)g（x）沒有零點(diǎn)；
②當(dāng)$m=\frac{2}{3}$時，函數(shù)g（x）有且僅有1個零點(diǎn)；
③當(dāng)$0＜m＜\frac{2}{3}$時，函數(shù)g（x）有2個零點(diǎn)；
④當(dāng)m≤0時，函數(shù)g（x）有且只有1個零點(diǎn)．
綜上所述：
當(dāng)$m＞\frac{2}{3}$時，函數(shù)g（x）沒有零點(diǎn)；
當(dāng)$m=\frac{2}{3}$或m≤0時，函數(shù)g（x）有且僅有1個零點(diǎn)；
當(dāng)$0＜m＜\frac{2}{3}$時，函數(shù)g（x）有2個零點(diǎn)．
（Ⅲ）對任意b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}＜1$恒成立，等價于f（b）-b＜f（a）-a恒成立．（*）．
設(shè)h（x）=f（x）-x=$lnx+\frac{m}{x}-x（x＞0）$，∴（*）等價于h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
∴$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{m}{x^2}-1≤0$在（0，+∞）上恒成立，
∴m≥-x²+x=$-{（x-\frac{1}{2}）^2}+\frac{1}{4}$（x＞0）恒成立，
∴$m≥\frac{1}{4}$（對$m=\frac{1}{4}$，h'（x）=0僅在$x=\frac{1}{2}$時成立）．
∴m的取值范圍是$[\frac{1}{4}，+∞）$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的圓柱以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查分類討論以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．