精英家教網(wǎng)如圖,對(duì)每個(gè)正整數(shù)n,An(xn,yn)是拋物線x2=4y上的點(diǎn),過(guò)焦點(diǎn)F的直線FAn交拋物線于另一點(diǎn)Bn(sn,tn).
(Ⅰ)試證:xnsn=-4(n≥1);
(Ⅱ)取xn=2n,并記Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn).試證:|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1.
分析:(Ⅰ)先設(shè)直線AnBn的方程為y-1=knx,然后與拋物線方程x2=4y聯(lián)立消去y得到x2-4knx-4=0,再由根與系數(shù)的關(guān)系可得到xnsn=-4,從而得證.
(Ⅱ)先根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出拋物線x2=4y在An處的切線的斜率,進(jìn)而可得到拋物線在An處的切線的方程,同理可得到x2=4y在Bn處的切線方程,然后兩切線方程相減整理可得到交點(diǎn)Cn的坐標(biāo),然后結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式可得到|FCn|2=(
xn+sn
2
)2+4=
x
2
n
4
+
s
2
n
4
+2
整理即可得到|FCn|=
|xn|
2
+
2
|xn|
,又由于xn=2n可得到|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=
1
2
(|x1|+|x2|+…+|xn|)+2(
1
|x1|
+
1
|x2|
+…+
1
|xn|
)
=
1
2
(2+22+…+2n)+2(
1
2
+
1
22
+…+
1
2n
)
,最后根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得到最后答案.
解答:證明:(Ⅰ)對(duì)任意固定的n≥1,因?yàn)榻裹c(diǎn)F(0,1),
所以可設(shè)直線AnBn的方程為y-1=knx,
將它與拋物線方程x2=4y聯(lián)立得:x2-4knx-4=0,
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得xnsn=-4(n≥1).
(Ⅱ)對(duì)任意固定的n≥1,
利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)易得拋物線x2=4y在An
的切線的斜率kAn=
xn
2
,
故x2=4y在An處的切線的方程為:y-yn=
xn
2
(x-xn)
,①
類(lèi)似地,可求得x2=4y在Bn處的切線的方程為:y-tn=
sn
2
(x-sn)
,②
由②-①得:yn-tn=-
xn-sn
2
x+
x
2
n
-
s
2
n
2
=
x
2
n
4
-
s
2
n
4
,
xn-sn
2
x=
x
2
n
-
s
2
n
4
,∴x=
xn+sn
2

將 ③代入 ①并注意xnsn=-4得交點(diǎn)Cn的坐標(biāo)為(
xn+sn
2
,-1)

由兩點(diǎn)間的距離公式得:|FCn|2=(
xn+sn
2
)2+4=
x
2
n
4
+
s
2
n
4
+2
=
x
2
n
4
+
4
x
2
n
+2=(
xn
2
+
2
xn
)2,?|FCn|=
|xn|
2
+
2
|xn|

現(xiàn)在xn=2n,利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得:
|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=
1
2
(|x1|+|x2|+…+|xn|)+2(
1
|x1|
+
1
|x2|
+…+
1
|xn|
)

=
1
2
(2+22+…+2n)+2(
1
2
+
1
22
+…+
1
2n
)=(2n-1)+(2-21-n)=2n-2-n+1+1
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線與拋物線的綜合問(wèn)題和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.考查基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用和計(jì)算能力.圓錐曲線、直線以及數(shù)列是高考必考題,要給予重視.
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(Ⅰ)試證:xnsn=-4(n≥1);
(Ⅱ)取xn=2n,并記Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn).試證:|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1(n≥1)。

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(Ⅰ)試證:xnsn=-4(n≥1);

(Ⅱ)取xn=2n,并記Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn).試證:

|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1(n≥1).

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