Question

14．已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-2，0），（2，0），并且經(jīng)過$P（{\sqrt{3}，1}）$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，與圓O：x²+y²=6相交于D、E兩點(diǎn)，當(dāng)△OAB的面積最大時(shí)，求弦DE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，由橢圓的定義可得$2a=\sqrt{{{（{\sqrt{3}+2}）}^2}+1}+\sqrt{{{（{\sqrt{3}-2}）}^2}+1}$，計(jì)算可得a的值，由c的值可得b的值，將a、b的值代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得答案；
（2）設(shè)直線l的方程為x=ky+2，與橢圓方程聯(lián)立可得（k²+3）y²+4ky-2=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根與系數(shù)的關(guān)系的關(guān)系將△OAB的面積用k表示出來，令$t=\sqrt{{k^2}+1}（{t≥1}）$，借助基本不等式的性質(zhì)分析可得答案．

解答 （1）根據(jù)題意，橢圓的橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-2，0），（2，0），
則其焦點(diǎn)在x軸上，且c=2；
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，
依橢圓的定義可得：$2a=\sqrt{{{（{\sqrt{3}+2}）}^2}+1}+\sqrt{{{（{\sqrt{3}-2}）}^2}+1}$
$\begin{array}{l}=\sqrt{8+4\sqrt{3}}+\sqrt{8-4\sqrt{3}}\\=\sqrt{{{（{\sqrt{6}+\sqrt{2}}）}^2}}+\sqrt{{{（{\sqrt{6}-\sqrt{2}}）}^2}}\\=2\sqrt{6}\end{array}$
∴$a=\sqrt{6}$，∵c=2，∴b²=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）設(shè)直線l的方程為x=ky+2，代入橢圓方程c化簡得：（k²+3）y²+4ky-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${y_1}+{y_2}=-\frac{4k}{{{k^2}+3}}，{y_1}{y_2}=-\frac{2}{{{k^2}+3}}$，
△OAB的面積$S=\frac{1}{2}|{OF}||{{y_1}-{y_2}}|=|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{{\sqrt{16{k^2}+8（{{k^2}+3}）}}}{{{k^2}+3}}=\frac{{2\sqrt{6}\sqrt{{k^2}+1}}}{{{k^2}+3}}$，
令$t=\sqrt{{k^2}+1}（{t≥1}）$，則$S=\frac{{2\sqrt{6}t}}{{{t^2}+2}}≤\frac{{2\sqrt{6}t}}{{2\sqrt{2}t}}=\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$t=\sqrt{2}$，即k=±1時(shí)取等號．
此時(shí)，直線l的方程為x=±y+2，圓心O到l的距離為$d=\sqrt{2}$，又圓半徑為$\sqrt{6}$，
故所求弦長為$|{DE}|=2\sqrt{6-2}=4$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，涉及橢圓與直線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是利用橢圓的定義求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．