Question

19．已知拋物線C₁：y²=ax（a＞0）的焦點與雙曲線C₂：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1（{b＞0}）$的右焦點重合，記為F點，點M與點P（4，6）分別為曲線C₁，C₂上的點，則|MP|+|MF|的最小值為（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 8
• C． $\frac{13}{2}$
• D． $\frac{11}{2}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的焦點坐標，得出拋物線方程，設點M在準線上的射影為D，則根據拋物線的定義可知|MF|=|MD|進而把問題轉化為求|MP|+|MD|取得最小，進而可推斷出當D，M，P三點共線時|MP|+|MD|最小，答案可得．

解答 解：（4，6）代入雙曲線C₂：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1（{b＞0}）$，可得$\frac{16}{4}-\frac{36}{^{2}}=1$，∴b²=12，
∴c=4，∴F（4，0），
∵拋物線C₁：y²=ax（a＞0）的焦點與雙曲線C₂：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1（{b＞0}）$的右焦點重合，
∴a=16，拋物線方程為y²=16x，
設點M在準線上的射影為D，則根據拋物線的定義可知|MF|=|MD|，
∴要求|MP|+|MF|取得最小值，即求|MP|+|MD|取得最小，
當D，M，P三點共線時|MP|+|MD|最小，為4+4=8．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質，考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，判斷當D，M，P三點共線時|PM|+|MD|最小，是解題的關鍵．