Question

已知函數(shù)f（x）滿足f(

1

x

)=x+2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及其定義域；
（Ⅱ）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間并證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令

1

x

=t，(t≠0)，則x=

1

t

，求得f(t)=

1

t

+2(t≠0)，從而求得函數(shù)f（x）的解析式及定義域
（Ⅱ）設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，求得f（x₂）-f（x₁）＜0，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減．同理可證函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減．

解答：解：（Ⅰ）令

1

x

=t，(t≠0)，--------（2分）
則x=

1

t

，-------（4分）
∴f(t)=

1

t

+2(t≠0)，∴f(x)=

1

x

+2 (x≠0)．-----（6分）
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）單調(diào)遞減．-----（7分）
設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0）∪（0，+∞），x₁＜x₂，△x=x₂-x₁＞0，-------（8分）
△y=f(x2)-f(x1)=

1

x2

+2-

1

x1

-2=

x1-x2

x1x2

=

-△x

x1x2

．--------（10分）
當(dāng)x₁＜x₂＜0時(shí)，x₁x₂＞0，又△x＞0，∴△y＜0；
同理，當(dāng)0＜x₁＜x₂時(shí)△y＜0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）單調(diào)遞減．-------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用換元法求函數(shù)的解析式，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，屬于基礎(chǔ)題．