Question

10．已知x，y∈R⁺，且x+2y=$\sqrt{3}$，則$\frac{xy+1}{{x}^{2}+4{y}^{2}}$的最大值為（　�。�

• A． $\frac{11}{12}$
• B． $\frac{11}{6}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 $\frac{xy+1}{{x}^{2}+4{y}^{2}}$=$\frac{xy+1}{（x+2y）^{2}-4xy}$=$\frac{xy+1}{3-4xy}$．利用基本不等式確定0＜xy≤$\frac{3}{8}$，再換元，利用單調性，即可得出結論．

解答 解：$\frac{xy+1}{{x}^{2}+4{y}^{2}}$=$\frac{xy+1}{（x+2y）^{2}-4xy}$=$\frac{xy+1}{3-4xy}$．
∵x，y∈R⁺，且x+2y=$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{3}$=x+2y≥2$\sqrt{2xy}$，
∴0＜xy≤$\frac{3}{8}$．
設t=3-4xy，xy=$\frac{1}{4}$（3-t），$\frac{3}{2}$≤t＜3，
∴f（t）=$\frac{7}{4t}$-$\frac{1}{4}$在$\frac{3}{2}$≤t＜3為減函數(shù)，
∴原式最大值為$\frac{11}{12}$．
∴f（t）_max=f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{11}{12}$
∴原式最大值為$\frac{11}{12}$．

點評 本題考查求最大值，考查基本不等式的運用，考查函數(shù)的單調性，正確轉化是關鍵．