Question

15．求f（x）=x²+$\frac{5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$的值域．

Answer 1

分析 利用換元法令$\sqrt{{x}^{2}+4}$=t（t≥2），從而可得f（x）=x²+$\frac{5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=t²-4+$\frac{5}{t}$，再利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求值域．

解答 解：令$\sqrt{{x}^{2}+4}$=t（t≥2），則x²=t²-4，
則f（x）=x²+$\frac{5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=t²-4+$\frac{5}{t}$，
令g（t）=t²-4+$\frac{5}{t}$，
g′（t）=2t-$\frac{5}{{t}^{2}}$=$\frac{2{t}^{3}-5}{{t}^{2}}$＞0，
故g（t）=t²-4+$\frac{5}{t}$在[2，+∞）上是增函數(shù)，
故g（t）≥g（2）=$\frac{5}{2}$；
故f（x）=x²+$\frac{5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$的值域為[$\frac{5}{2}$，+∞）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及換元法求函數(shù)的值域的應(yīng)用，屬于中檔題．