Question

在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，試確定△ABC的形狀．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　由于三角形的形狀可按角分類(lèi)，亦可按邊分類(lèi)，所以這類(lèi)問(wèn)題常用正弦定理、余弦定理及三角變換公式把條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或角的關(guān)系，通過(guò)代數(shù)式或三角式的恒等變形而得到結(jié)論． 　　解法一　　由正弦定理，得＝． 　　又∵2cosAsinB＝sinC，∴cosA＝＝．① 　　再由余弦定理，得cosA＝，② 　�、俅�入②得＝，化簡(jiǎn)得a2＝b2，即a＝b． 　　又已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，把a(bǔ)＝b代入a＝c．∴a＝b＝c． 　　因此△ABC為等邊三角形． 　　解法二　　∵∠B＋∠A＋∠C＝， 　　∴sinC＝sin(A＋B)． 　　又2cosAsinB＝sinC，∴2cosAsinB＝sin(A＋B)， 　　∴sin(A－B)＝0． 　　又∵∠A與∠B均是△ABC的內(nèi)角， 　　∴∠A＝∠B． 　　又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， 　　得(a＋b)2－c2＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab． 　　據(jù)余弦定理由上式可得cosC＝． 　　∴∠C＝．所以△ABC為等邊三角形． 　　評(píng)析　　判定三角形的形狀，一般有兩種思路：一是通過(guò)三角形的邊關(guān)系，另一是考慮三角形的內(nèi)角關(guān)系，當(dāng)然也可將邊和角巧妙結(jié)合同時(shí)考慮．