Question

在四棱錐P-ABCD中，直角梯形ABCD所在平面垂直于平面ABP，M是PC的中點(diǎn)，AB=AP=AD=2，BC=4，AB⊥AP．
（Ⅰ）求出該幾何體的體積．
（Ⅱ）若N是PB的中點(diǎn)，求證：AN∥平面BDM．

Answer 1

分析：（I）由已知中四棱錐P-ABCD中，平面ABP⊥平面ABCD，AB⊥AP，我們易確定PA即為四棱錐的高，根據(jù)已知中AB=AP=AD=2，BC=4，結(jié)合棱錐體積公式即可求解．
（II）∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，若若N是PB的中點(diǎn)，則我們連接MN后，易根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)判斷出AN∥DM，結(jié)合線面平行的判斷定理，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知：四棱錐P-ABCD中，
平面ABP⊥平面ABCD，AB⊥AP．
所以，PA⊥平面ABCD（3分）
又AB=AP=AD=2，BC=4，
則四棱錐P-ABCD的體積為V=

1

3

SABCD•|PA|=

1

3

×

(4+2)×2

2

×2=4（6分）
（Ⅱ）連接MN，則MN∥CB，AD∥CB，又MN=AD=

1

2

CB，
所以四邊形ANMD為平行四邊形，
∴AN∥DM．（9分）
∵AN?平面BDM，DM?平面BDM，
所以AN∥平面BDM（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面平行的判定，棱錐的體積公式，證明線面平行的關(guān)鍵，即證明面內(nèi)一線與面外一線平行．