Question

8．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+4cosφ}\\{y=4sinφ}\end{array}\right.$，（φ為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）將直線l寫成參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）的形式，并求曲線C的普通方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1，0），求|AB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即直線l：x-y-1=0，傾斜角為$\frac{π}{4}$，能將直線l寫成參數(shù)方程，消去參數(shù)，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得t²-$\sqrt{2}$t-15=0，利用參數(shù)的幾何意義，求|AB|的值．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即直線l：x-y-1=0，傾斜角為$\frac{π}{4}$，
∴將直線l寫成參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）；
∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+4cosφ}\\{y=4sinφ}\end{array}\right.$，（φ為參數(shù)），
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為（x-2）²+y²=16．
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得t²-$\sqrt{2}$t-15=0，
設(shè)t₁，t₂是方程的兩根，則t₁+t₂=$\sqrt{2}$，t₁t₂=-15＜0，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{2+60}$=$\sqrt{62}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，是中檔題．