Question

9．已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的最小值為-4，其圖象最高點(diǎn)與最低點(diǎn)橫坐標(biāo)之差是8，又知圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，2$\sqrt{2}$）．
（1）求函數(shù)解析式；
（2）求此函數(shù)的最大值和最小正周期．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，根據(jù)特試點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ，可得函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象特征求出函數(shù)的最大值，利用三角函數(shù)周期公式可求最小正周期．

解答 解：（1）由題意知：A=4，半周期$\frac{T}{2}$=8=$\frac{π}{ω}$，求得ω=$\frac{π}{8}$，故y=4sin（$\frac{π}{8}$x+φ）． 
再把（4，2$\sqrt{2}$）代入，可得4sin（$\frac{π}{8}$×4+φ）=2$\sqrt{2}$，
∴cosφ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由，0＜φ＜π，可得：φ=$\frac{π}{4}$，
故所求函數(shù)解析式為y=4sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$）． 
（2）令$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得x=16k+2，故當(dāng)x=16k+2 時(shí)，函數(shù)取得最大值為4．
此函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{π}{8}}$=16．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．