Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=a|x-1|+1（a＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）＞6-|x+2|的解集；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象與圓（x-1）²+（y-1）²=1相交形成的劣弧不超過圓周長的$\frac{1}{6}$．求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根據(jù)f（x）的圖象的特點以及圓的圖象，求出a的范圍即可．

解答 解（Ⅰ）a=1時，不等式為|x-1|+|x+2|＞5，
x≥1時，x-1+x+2＞5，解得：x＞2，
-2＜x＜1時，1-x+x+2=3，不合題意，
x≤-2時，1-x-x-2＞5，解得：x＜-3，
故不等式的解集為{x|x＜-3或x＞2}；
（Ⅱ）因為f（x）=a|x-1|+1恒過（1，1），且關(guān)于x=1對稱，
所以f（x）=a|x-1|+1的圖象是以（1，1）為折點的“V”字形圖象，
由題與圓（x-1）²+（y-1）²=1相交形成的劣弧不超過圓周長的$\frac{1}{6}$，
所以“V”字形圖象的右半支的傾斜角大于或等于60°，
所以正數(shù)a的取值范圍為$[\sqrt{3}，+∞）$．

點評 本題考查了絕對值不等式問題，考查函數(shù)圖象以及圓的方程問題，是一道中檔題．