Question

如果偶函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，且是周期為T=3的周期函數(shù)，且f′（1）=0，則方程f′（x）=0在區(qū)間[0，6]上的實(shí)根個數(shù)至少是（ ）
A．11
B．9
C．7
D．5

Answer 1

【答案】分析：由題意可得，函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)，故可得 f′（0）=0 且周期等于．再由 f′（1）=0，利用函數(shù)的周期性求出方程f′（x）=0在區(qū)間[0，6]上的實(shí)根，從而得出結(jié)論．
解答：解：由偶函數(shù)f（x）的周期為T=3可得，f（x+）=f（x-）=f（-x），
∴偶函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱，且函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)，且周期等于．
由偶函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，知 f'（0）=f'（）=f'（3）=0．
再由周期等于以及 f′（1）=0，求得 f′（）=f′（4）=f′（）=f′（）=f′（6）=0．
綜上，方程f′（x）=0在區(qū)間[0，6]上的實(shí)根為 x=0，，1，，3，4，，，6，共有9個，
故選 B．
點(diǎn)評：本題主要考查方程的根的存在性及個數(shù)判斷，利用函數(shù)的奇偶性與周期性求函數(shù)的值，屬于中檔題．