如圖，四棱錐P－ABCD中，底面四邊形ABCD是正方形，側(cè)面PDC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，且平面PDC⊥平面ABCD，E為PC的中點(diǎn)．

(1)求異面直線PA與DE所成的角的余弦值．

(2)求點(diǎn)D到平面PAB的距離．

答案：
解析：

　　解：如圖取DC的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，

　　∵△PDC為正三角形，∴PO⊥DC

　　又∵面PDC⊥面ABCD

　　∴PO⊥面ABCD

　　∴以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)OC、OP所在直線為y軸，z軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系，

　　則P(0，0，a)，A(a，，0)，B(a，，0)，C(0，，0)，D(0，，0)．

　　(1)∵E為PC的中點(diǎn)，∴E(0，，)

　　∴＝(0，a，a)，＝(a，－，－a)，

　　·＝a×(－)＋a×(－a)＝－a2，

　　||＝a，||＝a，

　　cos〈，〉＝，

　　∴異面直線PA與DE所成角的余弦值為．　6分

　　(2)由(1)知＝(a，－，－a)，

　　＝(0，a，0)，

　　＝(0，a，0)，

　　設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，則

　　n⊥，n⊥＝(0，a，0)，

　　∴n·＝xa－y－az＝0�、�

　　n·＝ya＝0�、�

　　由②得y＝0，代入①得xa－az＝0

　　令x＝，則z＝2，∴n＝(，0，2)．

　　則D到平面PAB的距離d等于
提示：

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點(diǎn)E在線段AD上，CE∥AB．
（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，且CD與平面PAD所成的角為45°，求點(diǎn)D到平面PCE的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，AC∩BD=O，PA⊥底面ABCD，OE⊥PC于E．
（1）求證：PC⊥平面BDE；
（2）設(shè)PA=AB=2，求二面角B-PC-D的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB和PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）若CD=2PD=2AD=2，四棱錐P-ABCD外接球的表面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=
12
CD=2，PA=2，M，E，F(xiàn)分別是PA，PC，PD的中點(diǎn)．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）證明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值．

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