Question

已知拋物線上的任意一點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離比該點(diǎn)到軸的距離多1．

（1）求的值；

（2）如圖所示，過(guò)定點(diǎn)（2，0）且互相垂直的兩條直線、分別與該拋物線分別交于、、、四點(diǎn)．

（i）求四邊形面積的最小值；

（ii）設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、兩點(diǎn)，試問(wèn)：直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）（2）（i）四邊形面積的最小值是48（ii）

【解析】

試題分析：（1）直接利用拋物線的定義

（2）（i）S四邊形ABCD，，利用弦長(zhǎng)

公式，以及基本不等式，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題

的解法求解

（ii）恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的常規(guī)解法

試題解析：

（1）由已知∴

（2）（i）由題意可設(shè)直線的方程為（），代入得

設(shè)則，

∴

6分

同理可得 7分

S四邊形ABCD

8分

設(shè)則∴S四邊形ABCD

∵函數(shù)在上是增函數(shù)

∴S四邊形ABCD，當(dāng)且僅當(dāng)即即時(shí)取等號(hào)

∴四邊形面積的最小值是48. 9分

（ii）由①得∴∴

∴， 11分

同理得 12分

∴直線的方程可表示為

即

當(dāng)時(shí)得

∴直線過(guò)定點(diǎn)（4,0）. 14分

注：第（2）中的第（i）問(wèn)：

S四邊形ABCD

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）也可.

考點(diǎn)：本題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式，基本不等式，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．