Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝xlnx和g(x)＝m(x2－1)(m∈R)．

(1)m＝1時(shí)，求方程f(x)＝g(x)的實(shí)根；

(2)若對(duì)任意的x∈(1，＋∞)，函數(shù)y＝g(x)的圖象總在函數(shù)y＝f(x)圖象的上方，求m的取值范圍；

(3)求證： ＋＋…＋>ln(2n＋1) (n∈N*)．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2) .(3) 見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）代入時(shí)， ，即，整理方程得，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性為遞減函數(shù)，故最多有一個(gè)零點(diǎn)，而，故方程有唯一的實(shí)根；（2）對(duì)于任意的, 恒成立，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性， ，通過(guò)討論，判斷是否符合題意；（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)， 時(shí)， 成立，結(jié)合題型，構(gòu)造不妨令，得出，利用累加可得結(jié)論.

試題解析：(1) 時(shí)， ，即，而，所以方程即為.

令，則，而，故方程有唯一的實(shí)根.

(2)對(duì)于任意的，函數(shù)的圖象總在函數(shù)圖象的上方，

即， ，即，

設(shè)，即， ，則

①若，則， ，這與題設(shè)矛盾．

若，方程的判別式，

當(dāng)，即時(shí)，

∴在上單調(diào)遞減，

∴，即不等式成立．

當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)兩根為， 且，則

∴方程有兩個(gè)正實(shí)根且

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增， 與題設(shè)矛盾．

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

(3)證明　由(2)知，當(dāng)時(shí)， 時(shí)， 成立．

不妨令

∴，即

∴，累加可得