【題目】直角三角形中,是的中點,是線段上一個動點,且,如圖所示,沿將翻折至,使得平面平面.
(1)當時,證明:平面;
(2)是否存在,使得與平面所成的角的正弦值是?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)答案見解析.
【解析】試題分析:
(1)由題意可得,取的中點,連接交于,當時,由幾何關系可證得平面.則.利用線面垂直的判斷定理可得平面.
(2)建立空間直角坐標系,結合直線的方向向量與平面的法向量計算可得存在,使得與平面所成的角的正弦值為.
試題解析:
(1)在中,,即,
則,
取的中點,連接交于,
當時,是的中點,而是的中點,
∴是的中位線,∴.
在中,是的中點,
∴是的中點.
在中,,
∴,則.
又平面平面,平面平面,
∴平面.
又平面,∴.
而,∴平面.
(2)以為原點,所在直線為軸,所在直線為軸,建立如圖所示空間直角坐標系.
則,,,,
由(1)知是中點,,而平面平面.
∴平面,
則.
假設存在滿足題意的,則由.
可得,
則.
設平面的一個法向量為,
則即
令,可得,,即.
∴與平面所成的角的正弦值
.
解得(舍去).
綜上,存在,使得與平面所成的角的正弦值為.
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【題目】對于給定的正整數,如果各項均為正數的數列滿足:對任意正整數,
總成立,那么稱是“數列”.
(1)若是各項均為正數的等比數列,判斷是否為“數列”,并說明理由;
(2)若既是“數列”,又是“數列”,求證: 是等比數列.
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【題目】心理學家發(fā)現視覺和空間能力與性別有關,某數學興趣小組為了驗證這個結論,從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學,給所有同學幾何和代數各一題,讓各位同學自由選擇一道題進行解答.統(tǒng)計情況如下表:(單位:人)
(1)能否據此判斷有的把握認為視覺和空間能力與性別有關?
(2)經過多次測試發(fā)現:女生甲解答一道幾何題所用的時間在5—7分鐘,女生乙解答一道幾何題所用的時間在6—8分鐘,現甲、乙兩人獨立解答同一道幾何題,求乙比甲先解答完的概率;
(3)現從選擇幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進行研究,記甲、乙兩名女生被抽到的人數為,求的分布列及數學期望.
附表及公式
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【題目】在某單位的食堂中,食堂每天以10元/斤的價格購進米粉,然后以4.4元/碗的價格出售,每碗內含米粉0.2斤,如果當天賣不完,剩下的米粉以2元/斤的價格賣給養(yǎng)豬場.根據以往統(tǒng)計資料,得到食堂某天米粉需求量的頻率分布直方圖如圖所示,若食堂購進了80斤米粉,以(斤)(其中)表示米粉的需求量, (元)表示利潤.
(1)計算當天米粉需求量的平均數,并直接寫出需求量的眾數和中位數;
(2)估計該天食堂利潤不少于760元的概率.
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【題目】橢圓C: 的左、右頂點分別為A1、A2,點P在C上且直線PA2的斜率的取值范圍是[-2,-1],那么直線PA1斜率的取值范圍是________.
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【題目】已知函數f(x)=xlnx和g(x)=m(x2-1)(m∈R).
(1)m=1時,求方程f(x)=g(x)的實根;
(2)若對任意的x∈(1,+∞),函數y=g(x)的圖象總在函數y=f(x)圖象的上方,求m的取值范圍;
(3)求證: ++…+>ln(2n+1) (n∈N*).
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