Question

1．已知四棱錐A-BCDE中，側(cè)面△ABC為等邊三角形，BE=AB，CD=2AB，CD∥BE，且CD⊥平面ABC，F(xiàn)為棱AD的中點．
（1）求證：EF∥平面ABC；
（2）求證：平面ADE⊥平面ACD；
（3）若等邊△ABC的邊長為a，求四棱錐A-BCDE的體積．

Answer 1

分析 （1）取AC中點G，連接FG，BG，推導(dǎo)出FGBE為平行四邊形，從而EF∥BG，由此能證明EF∥面ABC．
（2）推導(dǎo)出BG⊥AG，CD⊥BG，從而BG⊥面ADC，進(jìn)而EF⊥面ADC，由此能證明面ADE⊥面ADC．
（3）取BC的中點M，連接AM，推導(dǎo)出AM為四棱錐A-BCDE的高，由此能求出四棱錐A-BCDE的體積．

解答 證明：（1）取AC中點G，連接FG，BG，
∵F，G分別是AD，AB的中點，
∴FG∥CD，且$FG=\frac{1}{2}CD$，
∵BE∥CD，∴FG與BE平行且相等，∴FGBE為平行四邊形，
∴EF∥BG．又EF?面ABC，BG?面ABC，
∴EF∥面ABC．
（2）∵△ABC為等邊三角形，∴BG⊥AG，
又∵CD⊥面ABC，BG?面ABC，∴CD⊥BG，
∴BG垂直于面ADC的兩條相交直線AC，CD，
∴BG⊥面ADC，∵EF∥BG，∴EF⊥面ADC，
∵EF?面ADE，∴面ADE⊥面ADC．
解：（3）取BC的中點M，連接AM，
∵△ABC為等邊三角形，∴AM⊥BC，
又AM⊥CD，AM⊥平面BCDE，故AM為四棱錐A-BCDE的高，
∵AB=a，∴$AM=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，又${S_{BCDE}}=\frac{a+2a}{2}×a=\frac{3}{2}{a^2}$，
∴${V_{A-BCDE}}=\frac{1}{3}×\frac{3}{2}{a^2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}a=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^3}$．

點評 本題考查線面平行、面面垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．