某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了盤活資本,優(yōu)化組合,決定引進(jìn)資本拯救出現(xiàn)嚴(yán)重虧損的企業(yè).長(zhǎng)年在外經(jīng)商的王先生為了回報(bào)家鄉(xiāng),決定投資線路板廠和機(jī)械加工廠.王先生經(jīng)過預(yù)算,如果引進(jìn)新技術(shù)在優(yōu)化管理的情況下,線路板廠和機(jī)械加工廠可能的最大盈利率分別為95%和80%,可能的最大虧損率分別為30%和10%.由于金融危機(jī)的影響,王先生決定最多出資100萬元引進(jìn)新技術(shù),要求確?赡艿馁Y金虧損不超過18萬元.問王先生對(duì)線路板廠和機(jī)械加工廠各投資多少萬元,才能使可能的盈利最大?
【答案】分析:這是一個(gè)實(shí)際生活中的最優(yōu)化問題,可根據(jù)條件列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù),畫出可行域求解.
解答:解:設(shè)王先生分別用x萬元、y萬元投資線路板廠和機(jī)械加工廠兩個(gè)項(xiàng)目,盈利為z萬元.
由題意知
目標(biāo)函數(shù)z=0.95x+0.8y
上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,陰影部分(含邊界)即可行域.
作直線l:0.95x+0.8y=0,
并作平行于直線l的一組直線0.95x+0.8y=z,z∈R,
與可行域相交,其中有一條直線經(jīng)過可行域上的M點(diǎn),
且與直線0.95x+0.8y=0的距離最大,
這里M點(diǎn)是直線x+y=100和0.3x+0.1y=18的交點(diǎn).
解方程組
得x=40,y=60
此時(shí)z=0.95×40+0.8×60=86(萬元).
所以當(dāng)x=40,y=60時(shí)z取得最大值.
答:王先生用40萬元投資線路板廠、60萬元機(jī)械加工廠,
才能在確保虧損不超過18萬元的前提下,使可能的盈利最大為86萬元.
點(diǎn)評(píng):用圖解法解決線性規(guī)劃問題時(shí),分析題目的已知條件,找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵,可先將題目中的量分類、列出表格,理清頭緒,然后列出不等式組(方程組)尋求約束條件,并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù).然后將可行域各角點(diǎn)的值一一代入,最后比較,即可得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.
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