Question

某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了盤活資本，優(yōu)化組合，決定引進(jìn)資本拯救出現(xiàn)嚴(yán)重虧損的企業(yè)．長(zhǎng)年在外經(jīng)商的王先生為了回報(bào)家鄉(xiāng)，決定投資線路板廠和機(jī)械加工廠．王先生經(jīng)過預(yù)算，如果引進(jìn)新技術(shù)在優(yōu)化管理的情況下，線路板廠和機(jī)械加工廠可能的最大盈利率分別為95%和80%，可能的最大虧損率分別為30%和10%．由于金融危機(jī)的影響，王先生決定最多出資100萬元引進(jìn)新技術(shù)，要求確�？赡艿馁Y金虧損不超過18萬元．問王先生對(duì)線路板廠和機(jī)械加工廠各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？

Answer 1

分析：這是一個(gè)實(shí)際生活中的最優(yōu)化問題，可根據(jù)條件列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)，畫出可行域求解．

解答：解：設(shè)王先生分別用x萬元、y萬元投資線路板廠和機(jī)械加工廠兩個(gè)項(xiàng)目，盈利為z萬元．
由題意知

x+y≤100 0.3x+0.1y≤18 x≥0 y≥0.

目標(biāo)函數(shù)z=0.95x+0.8y
上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分（含邊界）即可行域．
作直線l₀：0.95x+0.8y=0，
并作平行于直線l₀的一組直線0.95x+0.8y=z，z∈R，
與可行域相交，其中有一條直線經(jīng)過可行域上的M點(diǎn)，
且與直線0.95x+0.8y=0的距離最大，
這里M點(diǎn)是直線x+y=100和0.3x+0.1y=18的交點(diǎn)．
解方程組

x+y=100 0.3x+0.1y=18

得x=40，y=60
此時(shí)z=0.95×40+0.8×60=86（萬元）．
所以當(dāng)x=40，y=60時(shí)z取得最大值．
答：王先生用40萬元投資線路板廠、60萬元機(jī)械加工廠，
才能在確保虧損不超過18萬元的前提下，使可能的盈利最大為86萬元．

點(diǎn)評(píng)：用圖解法解決線性規(guī)劃問題時(shí)，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù)．然后將可行域各角點(diǎn)的值一一代入，最后比較，即可得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解．