Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-x²+1（x∈R），其中a＞0，
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）若在區(qū)間上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍。

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，，f（2）=3；
f′(x)=，f′(2)=6，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y-3=6（x-2），即y=6x-9。
（2）f′(x)=，
令f′(x)=0，解得x=0或x=，
以下分兩種情況討論：
（1）若0＜a≤2，則，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f（x）的變化情況如下表：

當(dāng) 時(shí)，f（x）＞0等價(jià)于，即，
解不等式組得-5＜a＜5；因此0＜a≤2。
（2）若a＞2，則，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f（x）的變化情況如下表：

當(dāng)時(shí)，f（x）＞0等價(jià)于即，
解不等式組得或，因此2＜a＜5；
綜合（1）和（2），可知a的取值范圍為0＜a＜5。