Question

9．如圖，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為1的正方形，OD=3，點(diǎn)P為線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{OP}$=α$\overrightarrow{OB}$+β$\overrightarrow{OD}$，則α+β的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{2}{3}$，2]
• B． [0，$\frac{2}{3}$]
• C． [1，2]
• D． [$\frac{2}{3}$，1]

Answer 1

分析 先建立以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)D所在直線為x軸的直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求出點(diǎn)P的坐標(biāo)與α，β之間的關(guān)系；再根據(jù)點(diǎn)P的位置，借助于可行域即可求解．

解答 解：以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)D所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)點(diǎn)P（x，y），∵$\overrightarrow{OP}$=α$\overrightarrow{OB}$+β$\overrightarrow{OD}$，
則（x，y）=α（1，1）+β（3，0）=（α+3β，α）．
所以，$\left\{\begin{array}{l}x=α+3β\\ y=α\end{array}\right.$，∴α+β=$\frac{1}{3}$（x+2y）．
由于點(diǎn)P為線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)為α+β=$\frac{1}{3}$（x+2y）．
，如圖所示，
當(dāng)點(diǎn)P為點(diǎn)D（3，0）時(shí)，α+β=$\frac{1}{3}$（x+2y）取得最大值，其最大值為：1，
當(dāng)點(diǎn)P為點(diǎn)C（0，1）時(shí)，α+β=$\frac{1}{3}$（x+2y）取得最小值，其最小值為：$\frac{2}{3}$，

故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查相等向量以及線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用問題，是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，屬于綜合性題目．