直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，點(diǎn)D在AB上．
（Ⅰ）求證：AC⊥B1C；
（Ⅱ）若D是AB中點(diǎn)，求證：AC1∥平面B1CD；
（Ⅲ）當(dāng)
BD
AB
=
1
3
時，求二面角B-CD-B1的余弦值．
證明：（Ⅰ）在△ABC中，因?yàn)锳B=5，AC=4，BC=3，
所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．
因?yàn)橹比庵鵄BC-A1B1C1，所以CC1⊥AC．
因?yàn)锽C∩AC=C，
所以AC⊥平面BB1C1C．
所以AC⊥B1C．
（Ⅱ）證明：連接BC1，交B1C于E，DE．
因?yàn)橹比庵鵄BC-A1B1C1，D是AB中點(diǎn)，
所以側(cè)面BB1C1C為矩形，DE為△ABC1的中位線，
所以DE∥AC1．
因?yàn)镈E?平面B1CD，AC1?平面B1CD，
所以AC1∥平面B1CD．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AC⊥BC，
所以如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．
則B（3，0，0），A（0，4，0），A1（0，0，c），B1（3，0，4）．
設(shè)D（a，b，0）（a＞0，b＞0），
因?yàn)辄c(diǎn)D在線段AB上，且
BD
AB
=
1
3
，即
BD
=
1
3
BA
．
所以a=2，b=
4
3
，
BD
=(-1，
4
3
，0)．
所以
B1C
=(3，0，4)，
BA
=(-3，4，0)，
CD
=(2，
4
3
，0)．
平面BCD的法向量為
n1
=(0，0，1)．
設(shè)平面B1CD的法向量為
n2
=(x，y，1)，
由
B1C
•
n2
=0，
CD
•
n2
=0，得
3x+4=0
2x+
4
3
y=0
，
所以x=-
4
3
，y=2，
n2
=(-
4
3
，2，1)．
設(shè)二面角B-CD-B1的大小為θ，
所以cosθ=
n1
•
n2
|
n1
||
n2
|
=
3
61
．
所以二面角B-CD-B1的余弦值為
3
61
61
．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)S為平面外的一點(diǎn)，SA=SB=SC，，若，求證：平面ASC平面ABC。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=
π
2
，BC=CD=2，PD=4，A為PD的中點(diǎn)，如圖．將△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，點(diǎn)E在SD上，且
SE
=
1
3
SD
，如圖．
（Ⅰ）求證：SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1CC1⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O為AC的中點(diǎn)，E為BC1的中點(diǎn)
（1）求證：OE∥平面A1AB；
（2）求二面角A-A1B-C1的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2AB．（1）求證：BD⊥PC；
（2）求三棱錐A-PCD的體積；
（3）求二面角B-PC-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，矩形ABCD中，BC=2，AB=1，PA丄平面ABCD，BE∥PA，BE=
1
2
PA，F(xiàn)為PA的中點(diǎn)．
（I）求證：DF∥平面PEC
（II）若PE=
2
，求平面PEC與平面PAD所成銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

平面α的一個法向量為
n
=(1，-
3
，0)，則y軸與平面α所成的角的大小為（　�。�
A．
π
6
B．
π
3
C．
π
4
D．
5π
6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，正方形AA1D1D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：BD1∥平面A1DE；
（2）求證：D1E⊥A1D；
（3）在線段AB上是否存在點(diǎn)E，使二面角D1-EC-D的大小為
π
6
？若存在，求出AE的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，點(diǎn)P在棱DF上．
（Ⅰ）若P是DF的中點(diǎn)，
（�。┣笞C：BF∥平面ACP；
（ⅱ）求異面直線BE與CP所成角的余弦值；
（Ⅱ）若二面角D-AP-C的余弦值為
6
3
，求PF的長度．

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同步練習(xí)冊答案