在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2AB．（1）求證：BD⊥PC；
（2）求三棱錐A-PCD的體積；
（3）求二面角B-PC-D的余弦值．
（1）證明：如圖所示，連接BD交AC于點(diǎn)O．
∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．
又AC∩BD=O．
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．
（2）∵PA⊥底面ABCD，∴PA=2a是四棱錐P-ACD的高．
而S△ACD=
1
2
AD•CD=
1
2
a2．
∴V四棱錐P-ACD=
1
3
S△ACD•PA=
1
3
•
1
2
a2•2a=
1
3
a3．
（3）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），P（0，0，2a）．
則
BC
=（0，a，0），
PC
=（a，a，-2a），
DC
=（a，0，0）．
設(shè)平面PAC的法向量為
m
=（x，y，z），則
m
•
BC
=ay=0
m
•
PC
=ax+ay-2az=0
，令x=2，則y=0，z=1，∴
m
=(2，0，1)．
同理可得平面PCD的法向量
n
=（0，2，1）．
∴cos＜
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
||
n
|
=
1
5
•
5
=
1
5
．
由圖形可知：二面角B-PC-D的平面角是鈍角，故其余弦值為-
1
5
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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如圖：是平行四邊形平面外一點(diǎn)，分別是上的點(diǎn)，且=，     求證：平面

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖梯形ABCD，AD∥BC，∠A=90°，過點(diǎn)C作CE∥AB，AD=2BC，AB=BC，，現(xiàn)將梯形沿CE折成直二面角D-EC-AB．
（1）求直線BD與平面ABCE所成角的正切值；
（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P，在直線DE上是否存在一點(diǎn)M，使得PM∥面BCD？若存在，請指出點(diǎn)M的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面A1BC⊥平面A1ABB1，AB=BC=2，AA1=2
2
．
（1）求證：BC⊥平面A1ABB1；
（2）求直線A1B與平面A1AC成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在棱長為1的正方體A1B1C1D1-ABCD中，
（1）求直線B1D與平面A1BC1所成的角；
（2）求點(diǎn)A到面A1BC1的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，點(diǎn)D在AB上．
（Ⅰ）求證：AC⊥B1C；
（Ⅱ）若D是AB中點(diǎn)，求證：AC1∥平面B1CD；
（Ⅲ）當(dāng)
BD
AB
=
1
3
時(shí)，求二面角B-CD-B1的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn)，PA=PD=AD=2．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面PQB；
（Ⅱ）點(diǎn)M在線段PC上，PM=tPC，試確定t的值，使PA∥平面MQB；
（Ⅲ）若PA∥平面MQB，平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AB=4，E為PD中點(diǎn)．
（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）證明：平面PCD⊥平面PAD；
（3）求二面角E-AC-D的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1=
6
，D是棱CC1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：A1D⊥平面AB1C1；
（Ⅱ）求平面A1B1A與平面AB1C1所成的銳二面角的余弦值．

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