Question

15．已知橢圓方程x²+2y²=a²（a＞0）的左焦點F₁到直線y=x-2的距離為$2\sqrt{2}$，求橢圓的標準方程．

Answer 1

分析 把橢圓：x²+2y²=a（a＞0）轉化為標準方程，由已知條件利用點到直線距離公式列式求得a，由此能求出橢圓的標準方程．

解答 解：橢圓：x²+2y²=a，（a＞0）轉化為標準方程，得：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{{a}^{2}}{2}}=1$，
∴c²=${a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}=\frac{{a}^{2}}{2}$，
c=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
左焦點坐標（-$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，0），
由點到直線距離公式得：$\frac{|-\frac{\sqrt{2}}{2}a-2|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，
解得：a=$2\sqrt{2}$．
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

點評 本題考查橢圓的標準方程的求法，解題時注意橢圓性質的合理運用，是中檔題．