定義在D上的函數(shù)f（x）滿足：①f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]，則稱f（x）為閉函數(shù)，若f(x)=k+
x+2
是閉函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是
(-
9
4
，-2]
(-
9
4
，-2]
．
分析：由題意可得 f（a）=a，f（b）=b，由此推出a和b是方程 x2-（2k+1）x+k2-2=0 的兩個根，故有△＞0，且對稱軸x=
2k+1
2
＞-2，且f（-2）=k≥0，解此不等式組求得 k 的范圍，即為所求．
解答：解：因為f(x)=k+
x+2
是閉函數(shù)，且定義域為[-2，+∞），且函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，
∴
f(a)=a
f(b)=b
，即
k+
a+2
=a
k+
b+2
=b
．
∴a2-（2k+1）a+k2-2=0，且 b2-（2k+1）b+k2-2=0．
故a和b是方程 x2-（2k+1）x+k2-2=0 的兩個根，
∴
△=(2k+1)2-4(k2-2)＞0
對稱軸
2k+1
2
＞-2
f(-2)≥0
，
解得 k≥0，故k的取值范圍是[0，+∞），
故答案為：[0，+∞）．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，求函數(shù)的值域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，得到a和 b 是方程x2-（2k+1）x+k2-2=0 在[-2，+∞）上的兩個根，是解題的難點．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．
已知函數(shù)f（x）=1+a•（
1
2
）x+（
1
4
）x；g（x）=
1-m•x2
1+m•x2

（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）值域并說明函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)？
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）已知m＞-1，函數(shù)g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界，已知函數(shù)f（x）=1+x+ax2
（1）當(dāng)a=-1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，并說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在x∈[1，4]上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=1+a•(
1
2
)x+(
1
4
)x； g(x)=
1-m•x2
1+m•x2

（1）若函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）已知m＞-1，函數(shù)g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于定義在D上的函數(shù)f（x），若存在距離為d的兩條直線y=kx+m1和y=kx+m2，使得對任意x∈D都有kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立，則稱函數(shù)f（x）（x∈D）有一個寬度為d的通道．給出下列函數(shù)：①f(x)=
1
x
，②f（x）=sinx，③f(x)=
x2-1
，其中在區(qū)間[1，+∞）上通道寬度可以為1的函數(shù)有（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如右圖所示，定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對?x∈D，常數(shù)A，都有f（x）≥A成立，則稱函數(shù)f（x）在D上有下界，其中A稱為函數(shù)的下界．（提示：圖中的常數(shù)A可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)或零）
（1）試判斷函數(shù)f(x)=x3+
48
x
在（0，+∞）上是否有下界？并說明理由；
（2）已知某質(zhì)點的運動方程為S(t)=at-2
t+1
，要使在t∈[0，+∞）上的每一時刻該質(zhì)點的瞬時速度是以A=
1
2
為下界的函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

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