已知函數(shù) 

（I）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論；

（II）當(dāng)時，恒成立，求整數(shù)的最大值；

（Ⅲ）試證明： 

 

【答案】

（Ⅰ）在區(qū)間上是減函數(shù)；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)即得；（Ⅱ）將分離參數(shù)得：在上恒成立，取，則，接下來就利用導(dǎo)數(shù)求的最小值  注意到題中要求k為整數(shù)，說明只需找出這個最小值所在的整數(shù)區(qū)間，而不用求出這個最小值

（Ⅲ）注意用前面的結(jié)論 由（Ⅱ）可得k的最大值為3，取k=3得：，

待證不等式等價于：

 

再對照，顯然應(yīng)考慮將此不等式變形：

，

再令，

這樣依次取再將所得不等式相加即得  

試題解析：（Ⅰ）由題         2分

故在區(qū)間上是減函數(shù);    3分

（Ⅱ）當(dāng)時，恒成立，即在上恒成立，取，則，         5分

再取則

故在上單調(diào)遞增，

而，       7分

故在上存在唯一實(shí)數(shù)根，

故時，時，

故故      8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

令，      10分

又

                  12分

即：           14分

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2、不等式的證明

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=e|lnx|+a|x-1|（a為實(shí)數(shù)）
（I）若a=1，判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)性（不必證明）；
（II）若對于任意的x∈（0，1），總有f（x）的函數(shù)值不小于1成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x（x-
12
）的定義域?yàn)椋╪，n+1）（n∈N*），f（x）的函數(shù)值中所有整數(shù)的個數(shù)記為g（n）．
（1）求出g（3）的值；
（2）求g（n）的表達(dá)式；
（3）若對于任意的n∈N*，不等式（Cn0+Cn1+…+Cnn）l≥g（n）-25（其中Cni，i=1，2，3，…，n為組合數(shù)）都成立，求實(shí)數(shù)l的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012屆山西大學(xué)附中高三4月月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

(本小題共12分)已知函數(shù)的 部 分 圖 象如 圖 所示．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=e|lnx|+a|x-1|（a為實(shí)數(shù)）
（I）若a=1，判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)性（不必證明）；
（II）若對于任意的x∈（0，1），總有f（x）的函數(shù)值不小于1成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=x（x-
1
2
）的定義域?yàn)椋╪，n+1）（n∈N*），f（x）的函數(shù)值中所有整數(shù)的個數(shù)記為g（n）．
（1）求出g（3）的值；
（2）求g（n）的表達(dá)式；
（3）若對于任意的n∈N*，不等式（Cn0+Cn1+…+Cnn）l≥g（n）-25（其中Cni，i=1，2，3，…，n為組合數(shù)）都成立，求實(shí)數(shù)l的最小值．

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