【題目】對于任意給定的無理數(shù)及實數(shù)，圓周上的有理點的個數(shù)情況是（）

A. 至多一個 B. 至多兩個 C. 至少兩個，個數(shù)有限 D. 無數(shù)多個

【答案】B

【解析】

對于點，用表示上述圓周上有理點的個數(shù).

首先，作一個符合條件的圓，其上至少有兩個有理點.

為此，取點，線段中垂線的方程為.在垂線上取點，再取.則以為圓心、為半徑的圓周上至少有這兩個有理點.

其次，說明對于任何無理點以及任意正實數(shù)，都有.

為此，假設(shè)有無理點及正實數(shù)，在以為圓心、為半徑的圓周上至少有三個有理點（為有理數(shù)，）.則

.

據(jù)前一等式得，①

據(jù)后一等式得.②

則為有理數(shù).

若，則由式①得.

由為無理數(shù)得.

故共點，矛盾.

同理，若，可得共點，矛盾.

若，，由式①、②消去得

為有理數(shù).

因為無理數(shù)，所以，.

從而，.

則三點共線，這與三點共圓矛盾.

因此，所設(shè)不真，即這種圓上至多由兩個有理點.

于是，對于所有的無理點及所有正實數(shù)，的最大值為2. 選B.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與軸交點記為，與曲線交于，兩點，Q在x軸下方，求.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中，a為實數(shù)．

（1）當(dāng)函數(shù)的圖像在上與x軸有唯一的公共點時，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最大值與最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱錐中，平面，，，AP=AD=2AB=2BC，點在棱上.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）當(dāng)平面時，求直線與平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），是上的動點，點滿足，點的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求的普通方程；

（Ⅱ）在以為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線與交于，兩點，交軸于點，求的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，銳角的三邊互不相等，其垂心為，是邊的中點，直線，的外接圓交的外接圓于，直線與的外接圓、的外接圓分別交于證明：

（1）平分；

（2）三線共點。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】求滿足下列條件的最小正整數(shù)t，對于任何凸n邊形，只要，就一定存在三點，使的面積不大于凸n邊形面積的.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正四面體ABCD的棱長為2，球O與四面體的面ABC和面DBC都相切，其切點分別在△ABC和△DBC內(nèi)(含邊界)，且球O與棱AD相切.

（1）證明：球O的球心在棱AD的中垂面上；

（2）求球O的半徑的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2013年5月，華人數(shù)學(xué)家張益唐的論文《素數(shù)間的有界距離》在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表，破解了困擾數(shù)學(xué)界長達(dá)一個多世紀(jì)的難題，證明了孿生素數(shù)猜想的弱化形式，即發(fā)現(xiàn)存在無窮多差小于7000萬的素數(shù)對．這是第一次有人證明存在無窮多組間距小于定值的素數(shù)對．孿生素數(shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題中的第8個，可以這樣描述：存在無窮多個素數(shù)，使得是素數(shù)，素數(shù)對稱為孿生素數(shù)．在不超過16的素數(shù)中任意取出不同的兩個，則可組成孿生素數(shù)的概率為（ ）

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案