Question

【題目】已知函數(shù)，其中，a為實(shí)數(shù)．

（1）當(dāng)函數(shù)的圖像在上與x軸有唯一的公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】（1），或，或；（2）最大值為，最小值為

【解析】

由已知有．

（1）由函數(shù)的圖像與x軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是二次方程的實(shí)數(shù)根得．

下面分三種情形討論．

（i）當(dāng)時(shí)，有．

進(jìn)而，是函數(shù)的圖像在上與x軸的唯一公共點(diǎn)，故為所求．

（ii）當(dāng)時(shí)，有．進(jìn)而，．

又由函數(shù)的圖像在上與x軸有唯一的公共點(diǎn)，得，即．解得．

（iii）當(dāng)時(shí)，有．進(jìn)而，．

又由函數(shù)的圖像在上與x軸有唯一的公共點(diǎn)，得，即．解得．

所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為，或，或．

（2）當(dāng)時(shí)，有，且的兩個(gè)根為，只有在上．

則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且．

因此，函數(shù)在上的最大值為，最小值為．