Question

12．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）右頂為A，點(diǎn)P在橢圓上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OP⊥PA，求橢圓的離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析 由于∠AP0=90゜，可得點(diǎn)P所在的圓的方程x²+y²-ax=0，與橢圓方程聯(lián)立可得交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，即a與b的關(guān)系，再利用離心率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：∵∠AP0=90゜，∴點(diǎn)P在以AO為直徑的圓上，
∵O（0，0），A（a，0），
∴以AO為直徑的圓方程為x²+y²-ax=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1\\{x}^{2}+{y}^{2}-ax=0\end{array}\right.$消去y，得（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0．
設(shè)P（m，n），則m+a=-$\frac{{a}^{3}}{^{2}-{a}^{2}}$，ma=$\frac{-{a}^{2}^{2}}{^{2}-{a}^{2}}$，可得m=$\frac{a^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$．
∵由圖形得0＜m＜a，∴0＜$\frac{a^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$＜a，
即b²＜a²-b²，可得a²-c²＜c²，得a²＜2c²，
∴e²＞$\frac{1}{2}$，∴e＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又∵e∈（0，1），
∴橢圓的離心率e的取值范圍為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、橢圓的離心率范圍性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．