Question

【題目】如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD=2BC，Q為BB1的中點(diǎn)，過(guò)A1 ， Q，D三點(diǎn)的平面記為α．
（1）證明：平面α與平面A1B1C1D1的交線平行于直線CD；
（2）若AA1=3，BC=CD= ，∠BCD=120°，求平面α與底面ABCD所成二面角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，延長(zhǎng)AB，DC交于點(diǎn)P，

∵AD∥BC，且AD=2BC，∴AB=BP，

又∵Q為BB1的中點(diǎn)，

∴A1，Q，P三點(diǎn)共線，此時(shí)平面α與平面ABCD的交線為CD，

又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得，

平面α與平面A1B1C1D1的交線平行于直線CD；

（2）解：在梯形ABCD中，∵BC=CD= ，∠BCD=120°，

∴BD=3， ， ，得 ， ，

說(shuō)明梯形ABCD是等腰梯形，

∴AC=BD=3，

可知△ADP為等邊三角形，連接AC、A1C，則AC⊥CD，

又AA1⊥CD，∴CD⊥平面AA1C，

此時(shí)∠A1CA就是平面α與底面ABCD所成二面角的平面角，

在直角△A1CA中，AC=AA1=3，∴ ，

即平面α與底面ABCD所成二面角的大小為 ．

【解析】（1）延長(zhǎng)AB，DC交于點(diǎn)P，由已知可得AD∥BC，且AD=2BC，則AB=BP，得到A1，Q，P三點(diǎn)共線，此時(shí)平面α與平面ABCD的交線為CD，再由面面平行的性質(zhì)可得平面α與平面A1B1C1D1的交線平行于直線CD；（2）在梯形ABCD中，由已知求得ABCD是等腰梯形，進(jìn)一步得到△ADP為等邊三角形，連接AC、A1C，則AC⊥CD，可得∠A1CA就是平面α與底面ABCD所成二面角的平面角，在直角△A1CA中，求得 ，即平面α與底面ABCD所成二面角的大小為 ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握判斷兩平面平行的方法有三種:用定義；判定定理；垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．