【題目】已知橢圓C： 的離心率為 ，M為C上除長軸頂點(diǎn)外的一動(dòng)點(diǎn)，以M為圓心， 為半徑作圓，過原點(diǎn)O作圓M的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，當(dāng)M為短軸頂點(diǎn)時(shí)∠AOB= ． （Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作MF的垂線交直線x= a于N點(diǎn)，判斷直線MN與橢圓的位置關(guān)系．

【答案】解：（I）由題意，△OMA（△OMB）為等腰直角三角形，因?yàn)閳AM的半徑為 ，所以b=1，

又因?yàn)? ，所以 ，此時(shí)橢圓的方程為 ；

（II）（i）MF垂直于x軸，則 ，

此時(shí)直線MN的方程為 ，代入橢圓方程得：x2﹣2+1=0，

所以直線MN與橢圓相切；

（ii）MF不垂直于x軸，設(shè)M（x0，y0），則 ，

直線NF的方程 ，令x=2，解得 ，即得 ． ，由M（x0，y0）在橢圓上，得 ，

代入 ．

得直線MN方程為 ，

與橢圓方程聯(lián)立得： ，

化簡得： ，所以此時(shí)直線MN與橢圓相切，

綜合（i）（ii），直線MN與橢圓相切．


【解析】（I）利用△OMA（△OMB）為等腰直角三角形，求出b=1，通過離心率求解a，然后求解橢圓方程．（II）（i）MF垂直于x軸，驗(yàn)證直線MN與橢圓相切；（ii）MF不垂直于x軸，設(shè)M（x0，y0），則 ，轉(zhuǎn)化求解直線MN方程，與橢圓方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化證明直線MN與橢圓相切．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓 =1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，離心率為 ，過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為 ．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)A，B分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)．若 =8，求k的值．

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【題目】已知不等式|x+3|﹣2x﹣1＜0的解集為（x0 ， +∞） （Ⅰ）求x0的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=|x﹣m|+|x+ |﹣x0（m＞0）有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值．

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【題目】已知函數(shù)f（x）=ex+x2﹣x，g（x）=x2+ax+b，a，b∈R． （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)F（x）=f（x）﹣g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，1）處的切線l與曲線y=g（x）切于點(diǎn)（1，c），求a，b，c的值；
（Ⅲ）若f（x）≥g（x）恒成立，求a+b的最大值．

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【題目】在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且bcosC=（3a﹣c）cosB．D為AC邊的中點(diǎn)，且BD=1，則△ABD面積的最大值為 ．

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【題目】執(zhí)行所給的程序框圖，則輸出的值是（ ）
A.
B.
C.
D.

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【題目】已知函數(shù)f（x）=2lnx+x2﹣2ax（a＞0）． （I）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2（x1＜x2），且f（x1）﹣f（x2）≥ ﹣2ln2恒成立，求a的取值范圍．

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【題目】如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD=2BC，Q為BB1的中點(diǎn)，過A1 ， Q，D三點(diǎn)的平面記為α．
（1）證明：平面α與平面A1B1C1D1的交線平行于直線CD；
（2）若AA1=3，BC=CD= ，∠BCD=120°，求平面α與底面ABCD所成二面角的大�。�

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【題目】已知橢圓 拋物線 焦點(diǎn)均在 軸上， 的中心和 頂點(diǎn)均為原點(diǎn) ，從每條曲線上各取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于表中，則 的左焦點(diǎn)到 的準(zhǔn)線之間的距離為（ ）

A.
B.
C.1
D.2

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