Question

如圖所示，已知三棱錐P-ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AB=20，D為AB的中點(diǎn)，且△PDB是等邊三角形，PA⊥PC．
（1）求證：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角D-AP-C的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）根據(jù)面面平行的判定定理即可證明平面PAC⊥平面ABC；
（2）根據(jù)二面角的定義作出二面角，即可求二面角D-AP-C的正弦值．

解答： 解：（1）∵D為AB的中點(diǎn)，且△PDB是等邊三角形，
∴三角形PAD為直角三角形，且∠APB=90°，
PA⊥PB，
∵PA⊥PC，PB∩PC=P，
∴PA⊥平面PBC，
∴PA⊥BC，
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵AC∩BC=C，
∴BC⊥平面PAC，
∵BC?平面ABC，
∴平面PAC⊥平面ABC；
（2）取AP的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，則DF∥PB，
即DF⊥PA，
過(guò)F作FE⊥AC于E，則E為AC的中點(diǎn)，
則∠DFE為二面角D-AP-C的平面角，
∵BC=4，AB=20，
∴DE=2，DB=PB=10，
則DF=5，AC=8

6

，PA=10

3

，PC=2

21

，EF=

1

2

PG=

21

由余弦定理得，cos∠DFE=

DF2+EF2-DE2

2EF•DF

=

52+21-22

2× 21 ×5

=

21

5

，
則sin∠DFE=

1-( 21 5 )2

=

1- 21 5

=

4 5

=

2 5

5

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查面面垂直的判定以及二面角的求解，綜合考查了空間垂直的判定定理的應(yīng)用．