Question

13．設(shè)命題P：函數(shù)f（x）=lg（x²-ax+$\frac{1}{16}$a）的定義域?yàn)镽；命題q：不等式3^x-9^x＜a對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，如果命題p和q都是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤0或a=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 命題P：根據(jù)函數(shù)f（x）=lg（x²-ax+$\frac{1}{16}$a）的定義域?yàn)镽，則△＜0，解得a范圍．命題q：3^x-9^x=-$（{3}^{x}-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$∈$（-∞，\frac{1}{4}]$，由于不等式3^x-9^x＜a對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，可得a＞（3^x-9^x）_max．再根據(jù)命題p和q都是假命題，即可得出．

解答 解：命題P：函數(shù)f（x）=lg（x²-ax+$\frac{1}{16}$a）的定義域?yàn)镽，則△=${a}^{2}-4×\frac{1}{16}a$＜0，解得$0＜a＜\frac{1}{4}$．
命題q：3^x-9^x=-（3^x）²+3^x=-$（{3}^{x}-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$∈$（-∞，\frac{1}{4}]$，由于不等式3^x-9^x＜a對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，∴$a＞\frac{1}{4}$．
∵命題p和q都是假命題，∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤0或a≥\frac{1}{4}}\\{a≤\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解得a≤0或a=$\frac{1}{4}$．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤0或a=$\frac{1}{4}$．
故答案為：a≤0或a=$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．