Question

14．設(shè)x，y，z，a，b，c，r＞0，證明：$\frac{x+y+a+b}{x+y+a+b+c+r}$+$\frac{y+z+b+c}{y+z+a+b+c+r}$＞$\frac{x+z+a+c}{x+z+a+b+c+r}$．

Answer 1

分析 由真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：$\frac{a+c}{b+c}$＞$\frac{a}$（0＜a＜b），運用累加法和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 證明：由真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：$\frac{a+c}{b+c}$＞$\frac{a}$（0＜a＜b），
可得$\frac{x+y+a+b}{x+y+a+b+c+r}$＞$\frac{x+a}{x+a+c+r}$，
$\frac{y+z+b+c}{y+z+a+b+c+r}$＞$\frac{z+c}{z+c+a+r}$，
即有$\frac{x+y+a+b}{x+y+a+b+c+r}$+$\frac{y+z+b+c}{y+z+a+b+c+r}$＞$\frac{x+a}{x+a+c+r}$+$\frac{z+c}{z+c+a+r}$
＞$\frac{x+a}{x+z+a+b+c+r}$+$\frac{z+c}{x+z+a+b+c+r}$=$\frac{x+z+a+c}{x+z+a+b+c+r}$．
故原不等式成立．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用放縮法證明，以及不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．