Question

5．在[（$\sqrt{x}$）^lgx+1+$\root{6}{x}$]ⁿ展開式中，第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，且已知第四項(xiàng)是35000，試問：
（1）次數(shù)n是多少？
（2）展開式中的x是多少？

Answer 1

分析 （1）由題意可得2${C}_{n}^{2}$=+${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{3}$，求得次數(shù)n的值．
（2）根據(jù)第四項(xiàng)是35000，求得 ${（\sqrt{x}）}^{4lgx+5}$=1000，即$\frac{4lgx+5}{2}$•lgx=3，求得lgx的值，可得x的值．

解答 解：（1）由題意可得2${C}_{n}^{2}$=+${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{3}$，求得n=2（舍去），或 n=7，
故次數(shù)n是7．
（2）根據(jù)第四項(xiàng)是${C}_{7}^{3}$•${（\sqrt{x}）}^{4lgx+4}$•${（\root{6}{x}）}^{3}$=35•${（\sqrt{x}）}^{4lgx+5}$=35000，
∴${（\sqrt{x}）}^{4lgx+5}$=1000，即 ${x}^{\frac{4lgx+5}{2}}$=1000，$\frac{4lgx+5}{2}$•lgx=3，∴l(xiāng)gx=-2，∴x=$\frac{1}{100}$．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，式子的變形是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．