Question

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，側(cè)棱AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，AB=2，AD=4，側(cè)棱AA₁=4．
（1）若E是AA₁上一點，試確定E點位置使EB∥平面A₁CD；
（2）在（1）的條件下，求平面BED與平面ABD所成角的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）當E為AA₁四等分點時，即A₁E=

1

4

AA₁時，EB∥平面A₁CD．建立空間直角坐標系，確定E點坐標，即可得出結(jié)論；
（2）求出平面BED法向量、平面ABCD法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面BED與平面ABD所成角的余弦值．

解答： 解：（1）當E為AA₁四等分點時，即A₁E=

1

4

AA₁時，EB∥平面A₁CD．
證明：以AB為x軸，以AD為y軸，AA₁為z軸建立空間直角坐標系，
因此A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，4，0），C（2，1，0），A₁（0，0，4），
設(shè)E（0，0，z），則

BE

=（-2，0，z），

CA1

=（-2，-1，4），

CD

=（-2，3，0）．
∵EB∥平面A₁CD，不妨設(shè)

BE

=x

CA1

+y

CD

，
∴（-2，0，z）=x（-2，-1，4）+y（-2，3，0）．
∴

-2=-2x-2y 0=-x+3y，z=4x.

解得z=3．
所以當E點坐標為（0，0，3）即E為AA₁且靠近A₁的四等分點時，
EB∥平面A₁CD．（6分）
（2）∵AA₁⊥平面ABCD，
∴可設(shè)平面ABCD法向量為

m

=（0，0，1）．
設(shè)平面BED法向量為

n

=（x，y，1），根據(jù)

BE

=（-2，0，3），

BD

=（-2，4，0），
∴

-2x+3=0 -2x+4y=0

，
解得

n

=（

3

2

，

3

4

，1）．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

4

61

61

．
由題意可得，平面BED與平面ABD所成角的余弦值為

4

61

61

．（12分）

點評：本題考查線面平行，考查平面BED與平面ABD所成角的余弦值，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量是關(guān)鍵．