Question

已知等差數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=3n-2，等比數(shù)列{b_n}中，b₁=a₁，b₄=a₃+1．記集合A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=b_n，n∈N*}，U=A∪B，把集合U中的元素按從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列{c_n}．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{c_n}的前50項和S₅₀；
（Ⅲ）把集合?_UA中的元素從小到大依次排列構(gòu)成數(shù)列{d_n}，寫出數(shù)列{d_n}的通項公式，并說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）設等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵b₁=a₁=1，b₄=a₃+1=8，則q³=8，∴q=2，
∴b_n=2^n-1；
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的增長速度，數(shù)列{c_n}的前50項至多在數(shù)列{a_n}中選50項，數(shù)列{a_n}的前50項所構(gòu)成的集合為{1，4，7，10，…，148}，
由2^n-1＜148得，n≤8，數(shù)列{b_n}的前8項構(gòu)成的集合為{1，2，4，8，16，32，64，128}，其中1，4，16，64是等差數(shù)列{a_n}中的項，2，8，32，128不是等差數(shù)列中的項，a₄₆=136＞128，故數(shù)列{c_n}的前50項應包含數(shù)列{a_n}的前46項和數(shù)列{b_n}中的2，8，32，128這4項．
所以S₅₀=

46(a1+a46)

2

+2+8+32+128=3321；              
（Ⅲ）據(jù)集合B中元素2，8，32，128∉A，猜測數(shù)列{d_n}的通項公式為d_n=2^2n-1．
∵d_n=b_2n，∴只需證明數(shù)列{b_n}中，b_2n-1∈A，b_2n∉A（n∈N^*），
證明如下：∵b_2n+1-b_2n-1=2²ⁿ-2^2n-2=4ⁿ-4^n-1=3×4^n-1，即b_2n+1=b_2n-1+3×4^n-1，
若?m∈N^*，使b_2n-1=3m-2，那么b_2n+1=3m-2+3×4^n-1=3（m+4^n-1）-2，
所以，若b_2n-1∈A，則b_2n+1∈A．因為b₁∈A，重復使用上述結(jié)論，即得b_2n-1∈A（n∈N^*）．
同理，b_2n+2-b_2n=2²ⁿ⁺¹-2^2n-1=2×4ⁿ-2×4^n-1=3×2×4^n-1，即b_2n+2=b_2n+3×2×4^n-1，
因為“3×2×4^n-1”為數(shù)列{a_n}的公差3的整數(shù)倍，
所以說明b_2n 與b_2n+2（n∈N^*）同時屬于A或同時不屬于A，
當n=1時，顯然b₂=2∉A，即有b₄=2∉A，重復使用上述結(jié)論，即得b_2n∉A，
∴d_n=2^2n-1；