Question

附加題：已知（x+1）ⁿ=a+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n．
（1）求S_n；
（2）求證：當n≥4時，S_n＞（n-2）2ⁿ+2n²．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于與二項式有關，故可采用賦值法．取x=1，則a=2ⁿ；取x=2，則a+a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ，從而可求S_n；
（2）要證S_n＞（n-2）2ⁿ+2n²，只需證3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²，再利用數學歸納法加以證明．
解答：解：（1）取x=1，則a=2ⁿ；
取x=2，則a+a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-2ⁿ；         （4分）
（2）要證S_n＞（n-2）2ⁿ+2n²，只需證3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²，
①當n=4時，81＞80；
②假設當n=k（k≥4）時，結論成立，即3^k＞（k-1）2^k+2k²，
兩邊同乘以3 得：3^k+1＞3[（k-1）2^k+2k²]=k2^k+1+2（k+1）²+[（k-3）2^k+4k²-4k-2]
而（k-3）2^k+4k²-4k-2=（k-3）2^k+4（k²-k-2）+6=（k-3）2^k+4（k-2）（k+1）+6＞0
∴3^k+1＞（（k+1）-1）2^k+1+2（k+1）²，
即n=k+1時結論也成立，
由①②可知，當n≥4時，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²成立．
綜上原不等式獲證．（10分）
點評：本題以二項式為載體，考查賦值法的運用，考查數學歸納法，解題的關鍵是先分析轉化，再利用數學歸納法證明．