附加題:已知(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+an(x-1)n,(其中n∈N*)Sn=a1+a2+a3+…+an
(1)求Sn
(2)求證:當(dāng)n≥4時,Sn>(n-2)2n+2n2

解:(1)取x=1,則a0=2n;
取x=2,則a0+a1+a2+a3+…+an=3n,
∴Sn=a1+a2+a3+…+an=3n-2n; (4分)
(2)要證Sn>(n-2)2n+2n2,只需證3n>(n-1)2n+2n2,
①當(dāng)n=4時,81>80;
②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥4)時,結(jié)論成立,即3k>(k-1)2k+2k2,
兩邊同乘以3 得:3k+1>3[(k-1)2k+2k2]=k2k+1+2(k+1)2+[(k-3)2k+4k2-4k-2]
而(k-3)2k+4k2-4k-2=(k-3)2k+4(k2-k-2)+6=(k-3)2k+4(k-2)(k+1)+6>0
∴3k+1>((k+1)-1)2k+1+2(k+1)2,
即n=k+1時結(jié)論也成立,
由①②可知,當(dāng)n≥4時,3n>(n-1)2n+2n2成立.
綜上原不等式獲證.(10分)
分析:(1)由于與二項式有關(guān),故可采用賦值法.取x=1,則a0=2n;取x=2,則a0+a1+a2+a3+…+an=3n,從而可求Sn;
(2)要證Sn>(n-2)2n+2n2,只需證3n>(n-1)2n+2n2,再利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.
點評:本題以二項式為載體,考查賦值法的運用,考查數(shù)學(xué)歸納法,解題的關(guān)鍵是先分析轉(zhuǎn)化,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明.
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