Question

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，且y=f（x+1）為奇函數(shù)，f（0）=2，則f（4）+f（5）=

 

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Answer 1

分析：根據(jù)y=f（x+1）為奇函數(shù)，得f（-x+1）=-f（x+1），然后根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和賦值法，分別求出f（4）與f（5）的值，計算即可得到答案．

解答：解：∵y=f（x+1）為奇函數(shù)，
∴f（-x+1）=-f（x+1），
將x代換為x+1，則有f（-x）=-f（x+2），
∵f（x）為R上的偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），
∴f（x）=-f（x+2），
∴f（x+4）=f（x），
∴函數(shù)y=f（x）為周期函數(shù)，周期為4，
∴f（4）=f（0）=2，f（5）=f（4+1）=f（1），
∵y=f（x+1）為奇函數(shù)，
∴f（0+1）=0，即f（1）=0，
∴f（4）=2，f（5）=f（1）=0，
∴f（4）+f（5）=2+0=2，．
故答案為：2．

點評：本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用以及函數(shù)的求值問題．此題解題的關(guān)鍵是通過所給的關(guān)系式求出函數(shù)的周期，利用周期轉(zhuǎn)化求值．綜合考查了函數(shù)奇偶性和周期性的應(yīng)用，要熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用．屬于中檔題．