Question

6．已知直線l過點P（2，0），斜率為$\frac{4}{3}$，直線l和拋物線y²=2x相交于A，B兩點，設線段AB的中點為M，求：
（1）點M的坐標；
（2）線段AB的長|AB|．

Answer 1

分析 （1）求出直線l的參數(shù)方程，代入拋物線方程y²=2x中，得到關于t的一元二次方程，設這個一元二次方程的兩個根為t₁、t₂，得到根與系數(shù)的關系，由M為線段AB的中點，根據(jù)t的幾何意義，即可求出點M的坐標；
（2）利用弦長公式|AB|=|t₂-t₁|，即可得出．

解答 解：（1）∵直線l過點P（2，0），斜率為$\frac{4}{3}$，
設直線的傾斜角為α，tanα=$\frac{4}{3}$，sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$，
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）（*）
∵直線l和拋物線相交，將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程y²=2x中，
整理得8t²-15t-50=0，且△=15²+4×8×50＞0，
設這個一元二次方程的兩個根為t₁、t₂，
由根與系數(shù)的關系，得t₁+t₂=$\frac{15}{8}$，t₁t₂=-$\frac{25}{4}$，
由M為線段AB的中點，根據(jù)t的幾何意義，
因為中點M所對應的參數(shù)為$\frac{15}{16}$，
將此值代入直線l的參數(shù)方程的標準形式中，得M（$\frac{41}{16}$，$\frac{3}{4}$）．
（2）|AB|=|t₂-t₁|=$\sqrt{（\frac{15}{8}）^{2}-4×（-\frac{25}{4}）}$=$\frac{5}{8}\sqrt{73}$．

點評 本題考查了直線的參數(shù)方程的應用、參數(shù)的幾何意義、中點坐標公式、弦長公式，考查了計算能力和推理能力，屬于中檔題．