用數(shù)學(xué)歸納法證明：(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N+)．

答案：
解析：

　　證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，原式＝(3×1＋1)×7－1＝27，能被9整除，命題成立．

　　(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，(3k＋1)·7k－1能被9整除，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

　　[3(k＋1)＋1]·7k+1－1

　�。絒21(k＋1)＋7]·7k－1

　�。絒(3k＋1)＋(18k＋27)]·7k－1

　　＝[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k

　　∵[(3k＋1)·7k－1]和9(2k＋3)·7k都能被9整除，

　　∴[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k能被9整除．

　　即[3(k＋1)＋1]·7k+1－1能被9整除，

　　即當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題成立．

　　由(1)(2)可知，對(duì)任何n∈N+，命題都成立．

　　思路分析：證明一個(gè)與n有關(guān)的式子f(n)能被一個(gè)數(shù)a(或一個(gè)代數(shù)式g(n))整除，主要是找到f(k＋1)與f(k)的關(guān)系，設(shè)法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k＋1)＝f(k)·f1(k)＋a·f2(k)，就可證得命題成立．


提示：

本題如果將n＝k＋1時(shí)，[3(k＋1)＋1]·7k+1－1變?yōu)?[(3k＋1)·7k－1]＋3×7k+1＋6，再去證明3×7k+1＋6能被9整除，困難就大一些，即為了能利用歸納假設(shè)，拼湊結(jié)構(gòu)式以利于出現(xiàn)題目所需要的形式，是需要觀察式子的特點(diǎn)，不能盲目變形，要有目標(biāo)．


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，b＞0，n＞1，n∈N*．用數(shù)學(xué)歸納法證明：
an+bn
2
≥(
a+b
2
)n．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知m，n為正整數(shù)．
（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x＞-1時(shí)，（1+x）m≥1+mx；
（Ⅱ）對(duì)于n≥6，已知(1-
1
n+3
)n＜
1
2
，求證(1-
m
n+3
)n＜(
1
2
)m，m=1，2…，n；
（Ⅲ）求出滿足等式3n+4n+5n+…+（n+2）n=（n+3）n的所有正整數(shù)n．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利（Bernoulli）不等式：如果x是實(shí)數(shù)，且x＞-1，x≠0，n為大于1的自然數(shù)，那么有（1+x）n＞1+nx．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：函數(shù)f(x)=-
1
6
x3+
1
2
x2+x，x∈R．
（Ⅰ）求證：函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)A(1，
4
3
)中心對(duì)稱，并求f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）的值．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f′（x），an+1=g（an），n∈N+，且1＜a1＜2，求證：
（ⅰ）請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥2時(shí)，1＜an＜
3
2
；
（ⅱ）|a1-
2
|+|a2-
2
|+…+|an-
2
|＜2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

用數(shù)學(xué)歸納法證明：（cosα+isinα）n=cosnα+isinnα，（其中i為虛數(shù)單位）

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