已知:函數(shù)f(x)=-
1
6
x3+
1
2
x2+x
,x∈R.
(Ⅰ)求證:函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(1,
4
3
)
中心對(duì)稱,并求f(-2007)+f(-2006)+…+f(0)+f(1)+…+f(2009)的值.
(Ⅱ)設(shè)g(x)=f′(x),an+1=g(an),n∈N+,且1<a1<2,求證:
(。┱(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n≥2時(shí),1<an
3
2
;
(ⅱ)|a1-
2
|+|a2-
2
|+…+|an-
2
|<2
分析:(Ⅰ)設(shè)P(1-x1,y1)是函數(shù)f(x)的圖象上的任一點(diǎn),則P關(guān)于點(diǎn)A(1,
4
3
)
的對(duì)稱點(diǎn)是Q(1+x1
8
3
-y1
),證明Q也在函數(shù)f(x)的圖象上,即可得到結(jié)論;根據(jù)f(1+x1)+f(1-x1)=
8
3
,f(1)=
4
3
,利用倒序相加法,即可求得結(jié)論;
(Ⅱ)g(x)=f′(x)=-
1
2
x2+x+1
.(ⅰ)先證明當(dāng)n=2時(shí),命題成立,再利用g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,證明n=k+1時(shí),命題成立,即可得到結(jié)論;
(ⅱ)先證明|an+1-
2
|
1
2
|an-
2
|
,再利用等比數(shù)列的求和公式,即可得到結(jié)論.
解答:(Ⅰ)證明:設(shè)P(1-x1,y1)是函數(shù)f(x)的圖象上的任一點(diǎn),則P關(guān)于點(diǎn)A(1,
4
3
)
的對(duì)稱點(diǎn)是Q(1+x1
8
3
-y1

∵f(1+x1)+f(1-x1)=[-
1
6
(1+x1)3+
1
2
(1+x1)2+(1+x1)
]+[-
1
6
(1-x1)3+
1
2
(1-x1)2+(1-x1)
]=
8
3

∴f(1+x1)=
8
3
-f(1-x1)=
8
3
-y1,
∴Q也在函數(shù)f(x)的圖象上
∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(1,
4
3
)
中心對(duì)稱;
∵f(1+x1)+f(1-x1)=
8
3
,f(1)=
4
3

∴f(-2007)+f(-2006)+…+f(0)+f(1)+…+f(2009)+f(2009)+f(2008)+…+f(2)+f(1)+…+f(-2007)=
8
3
×4017

∴f(-2007)+f(-2006)+…+f(0)+f(1)+…+f(2009)=5356;
(Ⅱ)證明:g(x)=f′(x)=-
1
2
x2+x+1

(。1)當(dāng)n=2時(shí),a2=g(a1)=-
1
2
(a1-1)2+
3
2

∵1<a1<2,∴1<a2
3
2
,∴命題成立
(2)假設(shè)n=k(k≥2)時(shí),1<ak
3
2
,則ak+1=g(ak)=-
1
2
(ak-1)2+
3
2

∵g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,∴1-g(2)<g(
3
2
)<ak+1<g(1)=
3
2

∴n=k+1時(shí),命題成立
由(1)(2)可知,當(dāng)n≥2時(shí),1<an
3
2
;
(ⅱ)|an+1-
2
|
=
1
2
|an-
2
|
|an-2+
2
|

1<an
3
2
,∴|an-2+
2
|
<1
|an+1-
2
|
1
2
|an-
2
|

|an-
2
|
1
2
|an-1-
2
|
<…<
1
2n-1
|a2-
2
|
1
2n-1

|a1-
2
|+|a2-
2
|+…+|an-
2
|
<1+
1
2
+…
1
2n-1
=2-
1
2n-1
<2
|a1-
2
|+|a2-
2
|+…+|an-
2
|<2
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)圖象的對(duì)稱性,考查數(shù)學(xué)歸納法,考查不等式的證明,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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已知x0函數(shù)f(x)=(
1
3
)x-log2x
的零點(diǎn),若0<x1<x0,則f(x1)的值為( 。
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1
1

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-x2+2x   (x>0)
0
                (x=0)
x2+mx
     (x<0)
,則m=( 。

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